“جوهرة” من البراهين تحطم رقمًا قياسيًا عمره 80 عامًا، وتقدم رؤى جديدة حول الأعداد الأولية

النسخة الأصلية ل هذه القصة ظهرت في مجلة كوانتا.

في بعض الأحيان يحاول علماء الرياضيات التعامل مع مشكلة ما بشكل مباشر، وفي بعض الأحيان يفشلون في التعامل معها. وهذا صحيح بشكل خاص عندما تكون المخاطر الرياضية عالية، كما هو الحال مع فرضية ريمان، التي يأتي حلها مع مكافأة قدرها مليون دولار من معهد كلاي للرياضيات. إن إثباتها من شأنه أن يمنح علماء الرياضيات يقينًا أعمق بكثير حول كيفية توزيع الأعداد الأولية، في حين ينطوي أيضًا على مجموعة من العواقب الأخرى – مما يجعلها بلا شك السؤال المفتوح الأكثر أهمية في الرياضيات.

لا يملك علماء الرياضيات أدنى فكرة عن كيفية إثبات فرضية ريمان. ولكنهم ما زالوا قادرين على الحصول على نتائج مفيدة بمجرد إثبات أن عدد الاستثناءات المحتملة لهذه الفرضية محدود. يقول جيمس ماينارد من جامعة أكسفورد: “في كثير من الحالات، قد يكون هذا جيداً مثل فرضية ريمان نفسها. ويمكننا الحصول على نتائج مماثلة حول الأعداد الأولية من هذا”.

وفي نتيجة رائدة نشرت على الإنترنت في مايو/أيار، وضع ماينارد ولاري جوث من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا حداً أقصى جديداً لعدد الاستثناءات من نوع معين، محطمين بذلك في النهاية الرقم القياسي الذي سجل قبل أكثر من ثمانين عاماً. وقال هنريك إيفانيك من جامعة روتجرز: “إنها نتيجة مذهلة. إنها صعبة للغاية، ولكنها جوهرة”.

ويؤدي الدليل الجديد تلقائيًا إلى تقريبات أفضل لعدد الأعداد الأولية الموجودة في فترات قصيرة على خط الأعداد، ويعرض العديد من الأفكار الأخرى حول كيفية تصرف الأعداد الأولية.

خطوة جانبية حذرة

فرضية ريمان هي عبارة عن صيغة مركزية في نظرية الأعداد تسمى دالة زيتا لريمان. دالة زيتا (ζ) هي تعميم لمجموع بسيط:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯.

ستصبح هذه السلسلة كبيرة بشكل تعسفي مع إضافة المزيد والمزيد من المصطلحات إليها – يقول علماء الرياضيات إنها متباعدة. ولكن إذا قمت بدلاً من ذلك بتلخيصها

1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9+ 1/16 + 1/25 +⋯

سوف تحصل على π²/6، أو حوالي 1.64. كانت فكرة ريمان القوية بشكل مدهش هي تحويل سلسلة مثل هذه إلى دالة، على النحو التالي:

ζ(س) = 1 + 1/2^س + 1/3^س + 1/4^س + 1/5^س + ⋯.

إذن ζ(1) لا نهائية، لكن ζ(2) = π²/6.

تصبح الأمور مثيرة للاهتمام حقًا عندما تسمح بذلك س يكون عددًا مركبًا يتكون من جزأين: جزء “حقيقي”، وهو رقم يومي، وجزء “تخيلي”، وهو رقم يومي مضروبًا في الجذر التربيعي لـ -1 (أو أنايمكن رسم الأعداد المركبة على مستوى، مع وضع الجزء الحقيقي على س-المحور والجزء التخيلي على ي-المحور. هنا، على سبيل المثال، 3 + 4أنا.