“المجموعات” تدعم الرياضيات الحديثة وإليك كيفية عملهم

إن معرفة المجموعات الفرعية التي تحتوي عليها المجموعة هي إحدى الطرق لفهم بنيتها. على سبيل المثال، المجموعات الفرعية من ز₆ هي {0}، {0، 2، 4} و{0، 3} – المجموعة الفرعية التافهة، ومضاعفات 2، ومضاعفات 3. في المجموعة د₆، تشكل التدويرات مجموعة فرعية، لكن الانعكاسات لا تشكل ذلك. وذلك لأن الانعكاسين المتتاليين ينتجان دورانًا وليس انعكاسًا، تمامًا كما يؤدي إضافة رقمين فرديين إلى رقم زوجي.

أنواع معينة من المجموعات الفرعية تسمى المجموعات الفرعية “العادية” مفيدة بشكل خاص لعلماء الرياضيات. في المجموعة التبادلية، تكون جميع المجموعات الفرعية طبيعية، لكن هذا ليس صحيحًا دائمًا بشكل عام. تحتفظ هذه المجموعات الفرعية ببعض خصائص التبادلية الأكثر فائدة، دون إجبار المجموعة بأكملها على أن تكون تبادلية. إذا أمكن تحديد قائمة من المجموعات الفرعية العادية، فيمكن تقسيم المجموعات إلى مكونات بنفس الطريقة التي يمكن بها تقسيم الأعداد الصحيحة إلى منتجات أعداد أولية. المجموعات التي لا تحتوي على مجموعات فرعية عادية تسمى مجموعات بسيطة ولا يمكن تقسيمها أكثر من ذلك، تمامًا كما لا يمكن تحليل الأعداد الأولية. المجموعة ز_ن بسيطة فقط عندما ن هو أولي — فمضاعفات 2 و 3، على سبيل المثال، تشكل مجموعات فرعية عادية ز₆.

ومع ذلك، فإن المجموعات البسيطة ليست دائمًا بهذه البساطة. وقال هارت: “إنها أكبر تسمية خاطئة في الرياضيات”. في عام 1892، اقترح عالم الرياضيات أوتو هولدر أن يقوم الباحثون بتجميع قائمة كاملة بجميع المجموعات البسيطة المحدودة الممكنة. (تشكل المجموعات اللانهائية، مثل الأعداد الصحيحة، مجال دراستها الخاص).

لقد اتضح أن جميع المجموعات البسيطة المنتهية تقريبًا تبدو كذلك ز_ن (للقيم الأولية ل ن) أو يقع في إحدى العائلتين الأخريين. وهناك 26 استثناء، تسمى المجموعات المتفرقة. وقد استغرق تحديدها وإظهار عدم وجود احتمالات أخرى أكثر من قرن من الزمان.

تم اكتشاف أكبر مجموعة متفرقة، والتي يطلق عليها على نحو مناسب مجموعة الوحش، في عام 1973. ولديها أكثر من 8 × 10⁵⁴ العناصر ويمثل دورات هندسية في الفضاء مع ما يقرب من 200000 بعد. وقال هارت: “من الجنون أن يتمكن البشر من العثور على هذا الشيء”.

وبحلول الثمانينيات، بدا أن الجزء الأكبر من العمل الذي دعا إليه هولدر قد اكتمل، ولكن كان من الصعب إظهار أنه لم تعد هناك مجموعات متفرقة باقية هناك. وقد تأخر التصنيف أكثر عندما وجد المجتمع في عام 1989 ثغرات في دليل واحد مكون من 800 صفحة يعود تاريخه إلى أوائل الثمانينيات. وتم أخيرًا نشر دليل جديد في عام 2004، مما أدى إلى الانتهاء من التصنيف.

يتم إنشاء العديد من الهياكل في الرياضيات الحديثة، مثل الحلقات والحقول والمساحات المتجهة، عند إضافة المزيد من البنية إلى المجموعات. في الحلقات، يمكنك الضرب وكذلك الجمع والطرح؛ في الحقول، يمكنك أيضا تقسيم. ولكن تحت كل هذه الهياكل الأكثر تعقيدًا توجد نفس فكرة المجموعة الأصلية، مع بديهياتها الأربعة. وقال هارت: “إن الثراء الذي يمكن تحقيقه ضمن هذا الهيكل، مع هذه القواعد الأربع، أمر مذهل”.

القصة الأصلية أعيد طبعها بإذن من مجلة كوانتا، وهي مطبوعة مستقلة تحريريا عن مؤسسة سيمونز وتتمثل مهمتها في تعزيز الفهم العام للعلوم من خلال تغطية التطورات والاتجاهات البحثية في الرياضيات والعلوم الفيزيائية والحياة.