اختر منطقتك 
وبعبارة أخرى ، فإن مشكلة هيلبرت العاشرة غير قابلة للانهيار.
يأمل علماء الرياضيات في اتباع نفس النهج لإثبات إصدار حلقات الحلقات الممتدة للمشكلة-لكنهم ضربوا عقبة.
صمغ الأعمال
تنهار المراسلات المفيدة بين آلات تورينج ومعادلات ديوفانتين عندما يُسمح للمعادلات بحلول غير هادئة. على سبيل المثال ، فكر مرة أخرى في المعادلة ذ = x2. إذا كنت تعمل في حلقة من الأعداد الصحيحة تتضمن √2 ، فسوف ينتهي بك الأمر إلى بعض الحلول الجديدة ، مثل x = √2 ، ذ = 2. لم تعد المعادلة تتوافق مع آلة تورينج التي تحسب المربعات المثالية – وبشكل أعم ، لم تعد المعادلات ديوفانتين لا تستطيع تشفير مشكلة التوقف.
ولكن في عام 1988 ، بدأت طالب دراسات عليا في جامعة نيويورك يدعى ساشا شلابنتوك في اللعب بأفكار حول كيفية الالتفاف على هذه المشكلة. بحلول عام 2000 ، وضعت هي وآخرون خطة. قل أنك كنت تضيف مجموعة من المصطلحات الإضافية إلى معادلة مثل ذ = x2 التي أجبرت بطريقة سحرية x لتكون عددًا صحيحًا مرة أخرى ، حتى في نظام أرقام مختلف. ثم يمكنك إنقاذ المراسلات إلى آلة تورينج. هل يمكن القيام الشيء نفسه لجميع المعادلات ديوفانتين؟ إذا كان الأمر كذلك ، فهذا يعني أن مشكلة هيلبرت يمكن أن تشفر مشكلة التوقف في نظام الأرقام الجديد.
على مر السنين ، اكتشف Shlapentokh وغيره من علماء الرياضيات المصطلحات التي كان عليهم إضافتها إلى معادلات الديوفانتين لأنواع مختلفة من الحلقات ، مما سمح لهم بإثبات أن مشكلة هيلبرت لا تزال غير قابلة للتنفيذ في تلك الإعدادات. ثم غليوا جميع حلقات الأعداد الصحيحة المتبقية إلى حالة واحدة: حلقات تنطوي على العدد الخيالي أنا. أدرك علماء الرياضيات أنه في هذه الحالة ، يمكن تحديد المصطلحات التي يتعين عليهم إضافتها باستخدام معادلة خاصة تسمى منحنى بيضاوي.
لكن المنحنى الإهليلجي يجب أن يفي بخصائصين. أولاً ، سوف تحتاج إلى الحصول على العديد من الحلول بلا حدود. ثانياً ، إذا تحولت إلى حلقة مختلفة من الأعداد الصحيحة – إذا قمت بإزالة الرقم الخيالي من نظام الأرقام الخاص بك – فسيتعين على جميع الحلول إلى المنحنى الإهليلجي الحفاظ على نفس الهيكل الأساسي.
كما اتضح ، كان بناء مثل هذا المنحنى الإهليلجي الذي عمل لكل حلقة متبقية مهمة خفية وصعبة للغاية. لكن Koymans و Pagano – الخبراء في المنحنيات الإهليلجية الذين عملوا معًا عن كثب منذ أن كانوا في مدرسة الدراسات العليا – قد تم تحديد الأداة المناسبة للمحاولة.
ليالي بلا نوم
منذ وقته كطالب جامعي ، كان Koymans يفكر في مشكلة Hilbert العاشرة. في جميع أنحاء مدرسة الدراسات العليا ، وطوال تعاونه مع Pagano ، كان الأمر كذلك. قال كويمانز: “لقد أمضيت بضعة أيام كل عام في التفكير في الأمر والتعثر بشكل فظيع”. “سأحاول ثلاثة أشياء وكانوا جميعًا ينفجرون في وجهي.”
في عام 2022 ، أثناء وجوده في مؤتمر في بانف ، كندا ، انتهى به الأمر و Pagano بالدردشة حول المشكلة. كانوا يأملون في أن يتمكنوا من بناء منحنى الإهليلجي الخاص اللازم لحل المشكلة. بعد الانتهاء من بعض المشاريع الأخرى ، وصلوا إلى العمل.
